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　３０分用の砂時計を買いました。
　通販で税込・送料込みで５６０円、台湾から送付されてきました。
　右上の形をしています。円錐を上下に逆さに２つ並べたような形です。

　まず、時間が正確かどうか確認しました。
　＋２分
　±０分（反対側にひっくり返して）
　＋１分
　±０分（反対側にひっくり返して）
　概ね正確です。

　ただ、横から見ていると、砂の落ちるのが遅くて、最だんだん砂の落ちるのが遅くなり、最後の方になるとラストスパートをかけるようにみえます。
　横からみたための錯覚ですね。

　砂の落ちる速度は一定ですから、上に位置する三角錐の、どの位置まで砂が来たとき、どの程度時間が経過しているのか考えてみました。
　円錐と仮定します。
　三角錐、四角錐、円錐などの錐体の体積は、以下のとおりです。円錐の体積は、高校の数Ⅲの積分で習った記憶があります。積分を知るまで、なぜ、３分の１を掛けるかわかりませんでした。
　「１/３×底面積×高さ」です。

　上の円錐の砂が、上の円錐の最初の砂の高さの半分の高さになるまでの時間は、全体の８分の７の時間が経過したとき、３０分計なら２６分１５秒経過しています。
　１－（１/｛（１/４）×（１/２）｝）
　どうりで、横から見ると、ラストスパートしているように見えるはずです。

　半分の時間が経過した時点の、上の円錐の砂の高さは、最初の砂の高さの０.７９です。３乗すれば２分の１になります。
　１／３×π×ａ＾３＝２×（１／３×π×ｂ＾３）
　ｂ＝０．７９×ａ

　あっているでしょうか？

　ちなみに、横から砂時計をみていると「錯覚」をおこすのですが、机の上において、斜め上から見ると、大体、残っている砂と、落ちた砂の割合はわかります。
　ただ、最後のラストスパートは、予測しにくいですね。